Acredito que teu problema seja mais processo do que sistema.
Já vi vários casos da área de TI querer resolver problemas de processos e pessoas com sistema (já passei por isso) e posso te dizer que isso nem sempre resolve.
Definir os processos é peça chave no bom funcionamento. É complicado? Com certeza, mas precisa ser feito.
No sistema você pode definir tempo de resposta e tempo para solução para cada problema, trabalhar com o agendamento dos chamados e monitorar para que isso seja cumprido.
Aqui no fórum um pessoal já fez uma fila de atendimento e acredito que isso possa te auxiliar.